Этой публикацией мы начинаем небольшую серию статей, посвящённых популярному изложению некоторых математических вопросов современной криптографии. Она посвящена конечным полям – понятию, лежащему в основе алгебры, теории чисел, информатики, других разделов математики, играющему важную роль не только в теоретических исследованиях, но и в многочисленных приложениях. Это конечные множества с операциями, которые принято называть сложением и умножением, поскольку они имеют такие же свойства, что и изучаемые в школе одноимённые операции с обычными числами. В последующих статьях мы обсудим, как с помощью этих операций устраиваются асимметричные алгоритмы зашифрования и расшифрования информации, цифровая подпись, что такое хеш-функции и блокчейн, протокол доказательства с нулевым разглашением и алгоритм разделения секрета, некоторые другие криптографические инструменты. В последней из статей серии мы расскажем, как устроена система дистанционного цифрового голо- сования, обеспечивающая анонимность избирателей и невозможность проголосовать несколько раз, возможность контролировать правильность заполнения каждого поданного бюллетеня при невозможности его расшифрования или искажения его содержания, невозможность определить промежуточные результаты голосования до его завершения и т.п. Мы не будем касаться вопросов, связанных с программированием и организационных вопросов, таких как формирование списков избирателей. Нас будут интересовать математически строгие доказательства корректности всех утверждений о свойствах описываемой схемы дистанционного электронного голосования.