Каждый, кто любит решать геометрические задачи, замечал, что иной раз незатейливая на первый взгляд тема или задача вдруг открывается с необычной стороны и начинает «играть новыми красками». Единожды сделав для себя такое открытие, начинаешь от каждой задачи ожидать загадки и изысканной красоты. Более того, даже появляется уверенность, что поиск «скрытого» и есть истинное знакомство с задачей. Так однажды, уже само название статьи Д. В. Прокопенко «Теорема Фалеса в окружности»1 привлекло внимание необычным словосочетанием в заголовке, а дальнейшее знакомство с изложенной там идеей породило ряд собственных задач и размышлений, с которыми автор хотел бы поделиться..