Целью этой статьи является знакомство читателя с критериями существования вписанной и описанной окружностей у четырёхугольника и с отдельными свойствами таких четырёхугольников. Мы приводим как элементарные (то есть встречающиеся в некоторых учебниках), так и нестандартные, красивые, требующие нетривиальных дополнительных построений, доказательства этих критериев. Одним из достоинств приведённых нестандартных доказательств является их независимость от свойств параллельных линий. В частности, они работают на сфере и на плоскости Лобачевского.