В школьном курсе геометрии обсуждаются две важнейшие теоремы об углах, связанных с окружностью: о равенстве углов, опирающихся на одну дугу, и об угле между касательной и хордой. Однако обратные к ним теоремы зачастую остаются за кадром, хотя они позволяют легко доказать принадлежность точки данной окружности и касание прямой данной окружности соответственно. В настоящей заметке мы приведём формулировки прямых и обратных теорем, обсудим доказательства обратных теорем (в большинстве пособий они приведены лишь в качестве задач) и рассмотрим применение этих утверждений при решении двух задач LXXXIV Московской математической олимпиады.